Ich hatte mir immer viel darauf eingebildet, dass ich mehr als 20 Jahren lang mein Gewicht gehalten habe. Vor ein paar Monaten stand ich morgens im Badezimmer wieder einmal auf der Waage und informierte stolz meine Frau darüber, noch immer kein Gramm zugenommen zu haben. Doch anstatt sich darüber zu freuen, ließ sie ihren Blick kritisch über meinen Körper wandern und sagte dann: „Du magst vielleicht nicht schwerer geworden sein, aber deine Masse hat sich umverteilt. Dein Kreuz ist schmaler, deine Beine sind dünner, aber dafür ist deine Taille konvex geworden. Du solltest vielleicht einmal versuchen, ein wenig Sport zu treiben.“ So bin ich zum Joggen gekommen.
In der Nähe unseres Hauses wurde jahrzehntelang Kies abgebaut. Inzwischen ist aus der stillgelegten Grube ein See entstanden, der die Form eines Dreiecks hat und von einem Weg umsäumt wird. Zweimal pro Woche jogge ich auf diesem Weg um den See. Anfangs musste ich noch viele Pausen machen. Aber schließlich schaffte ich es in einem Stück und brauchte immer weniger Zeit für eine Runde. Ich träumte sogar schon von Sportabzeichen. Am letzten Freitag aber zerplatzten meine Träume.
An einer Ecke des Sees liegt ein Parkplatz, an dem ich immer starte. Als ich am Freitag dort ankam, war ich nicht der einzige Jogger. Eine Frau, die mindestens 15 Jahre älter war als ich, machte dort ihre Dehnübungen. Wir nickten uns zu und joggten gleichzeitig los. Ich lief im Uhrzeigersinn um den See, die Frau gegen den Uhrzeigersinn. Mein Ehrgeiz war geweckt, und ich rannte so schnell wie nie zuvor. Ich war davon überzeugt, als Erster wieder auf dem Parkplatz anzukommen. Genau in der Mitte der dem Parkplatz gegenüberliegenden Seite des Sees steht eine Bank. Als ich mich ihr näherte, kam mir die Frau entgegen, und wir passierten einander genau an der Bank. „Verflixt!“, dachte ich verärgert. „Sie ist genauso schnell wie ich.“ Doch es sollte noch schlimmer kommen. 400 Meter vor dem Ziel liegt ein mannshoher Findling neben dem Weg. Gleichzeitig mit der Frau, die offensichtlich noch eine zweite Runde um den See rannte, lief ich an ihm vorbei. Ich konnte mir nicht erklären, wie sie den Findling so schnell erreicht hatte.
Als ich meiner Frau von meinem ernüchternden Erlebnis erzählte und auf Trost hoffte, sagte sie nur: „Du hast einen Denkfehler gemacht. Der See ist ein rechtwinkliges Dreieck, und der Parkplatz liegt an der rechtwinkligen Ecke. Die Bank auf dem Mittelpunkt der Hypotenuse ist nicht einen halben Seeumfang vom Parkplatz entfernt, denn die beiden Katheten sind unterschiedlich lang.“ Meine Frau ist Mathematiklehrerin und liebt es, Alltagsgespräche mit Fachausdrücken zu garnieren. „Nachdem, was du mir erzählt hast, standen die Geschwindigkeit der Joggerin und deine im Verhältnis 13:11“, behauptete sie nach kurzem Nachdenken. „Wie kommst du denn darauf?“, fragte ich erstaunt. „Ich kenne die Seitenlängen des Sees, und ich kann Kopfrechnen“, sagte sie mit einem Schulterzucken.
Angenommen, die Joggerin und ich sind mit konstanten Geschwindigkeiten um den See gelaufen.
Wie viele Meter hat dann die Länge der Hypotenuse?
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Die Lösung des Mai-Rätsels
Da der See mit den Seitenlängen a, b und c die Form eines rechtwinkligen Dreiecks hat und a < b < c sein soll, gilt nach dem Satz des Pythagoras a2 + b2 = c2. Beim Treffen bei der Bank an der Hypotenusenmitte hat die schnelle Frau den Weg b + c/2 zurückgelegt und der langsame Mann den Weg a + c/2. Weil ihre Geschwindigkeiten im Verhältnis 13:11 stehen, gilt 13/11 = (b + c/2)/(a + c/2), was sich zu c = 11b – 13a vereinfachen lässt. Setzt man dies in die Gleichung von Pythagoras ein, erhält man a2 + b2 = (11b – 13a)2. Dies kann man zu 84a2 + 60b2 = 143ab zusammenfassen. Beim Treffen am Findling hat die Frau den See ganz umrundet und noch d = 400 Meter von der zweiten Runde zurückgelegt. Dem Mann hingegen fehlen noch d = 400 Meter von der ersten Runde. Somit gilt 13/11 = (a + b + c + d)/(a + b + c – d), was man zu a + b + c = 12d umformen kann. Fügt man in diese Gleichung c = 11b – 13a ein, erhält man a + b + 11b – 13a = 12d oder b = a + d. Dies wird nun in die Gleichung 84a2 + 60b2 = 143ab eingesetzt und ergibt 84a2 + 60(a + d)2 = 143ab. Nach einigen Umformungen bekommt man die quadratische Gleichung a2 – 23da + 60d2 = 0, die die Lösungen 3d und 20d hat. Die zweite Lösung ist hier sinnlos, da sie größer ist als der Umfang des Sees. Somit ist a = 3d. Daraus ergeben sich auch sofort b = 4d und c = 5d. Die drei Seiten des Sees sind somit 1.200 Meter, 1.600 Meter und 2.000 Meter lang; Letzteres ist die Länge der Hypotenuse.
Die Gewinner
Das Los hat unter den richtigen Einsendern entschieden.
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Siemer Gerking, Neuenkirchen; Valentin Langmaier, Neumarkt in der Steiermark, Österreich; Marc-André Ocklenburg, Moers; Margareta Simon, Thalmässing; Greta Stein, Lollar
